




第五章數列專練9—數列求和(討論奇偶)-2021屆高三數學一輪復習
展開數列專練9—數列求和(討論奇偶)
1.在等差數列中,已知公差,是與的等比中項.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)設,記,求.
解:(Ⅰ)是與的等比中項,
,
在等差數列中,公差,
,即,
化為,解得.
.
(Ⅱ),
.
當時,
.
當時,
.
故.
(也可以利用“錯位相減法”
2.已知首項為的等比數列不是遞減數列,其前項和為 ,且,,成等差數列.
(1)求數列的通項公式;
(2)若實數使得對任意恒成立,求的取值范圍.
解:(1)設等比數列的公比為,
由,,成等差數列,可得:
,
即,
即有,即為,
解得,
由等比數列不是遞減數列,可得,
即.
(2)由(1)得
當為奇數時,隨的增大而減小,所以
.
當為偶數時,隨的增大而增大,所以
實數使得對任意恒成立,則的取值范圍為,
3.已知為等差數列,為等比數列,,,.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)記的前項和為,求證:;
(Ⅲ)對任意的正整數,設求數列的前項和.
解:(Ⅰ)設等差數列的公差為,等比數列的公比為,
由,,則,可得,
,
,,
,
解得,
;
(Ⅱ)證明:法一:由(Ⅰ)可得,
,,
,
;
法二:數列為等差數列,且,
,,,
,
;
(Ⅲ),當為奇數時,,
當為偶數時,,
對任意的正整數,有,
和,①,
由①可得,②,
①②得,
,
因此.
數列的前項和.
4.設是等差數列,是等比數列,公比大于0.已知,,.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)設數列滿足求.
解:(Ⅰ)是等差數列,是等比數列,公比大于0.
設等差數列的公差為,等比數列的公比為,.
由題意可得:①;②
解得:,,
故,
(Ⅱ)數列滿足,
令①,
則②,
②①得:
;
故
5.已知等差數列的公差為2,前項和為,且,,成等比數列.
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)令,求數列的前項和.
解:(Ⅰ)等差數列的公差為2,前項和為,
,
,,成等比數列,
,
,化為,解得.
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得.
.
當為偶數時,.
當為奇數時,.
.
6.等比數列中.,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數.且,,中的任何兩個數不在下表的同一列.
| 第一列 | 第二列 | 第三列 |
第一行 | 3 | 2 | 10 |
第二行 | 6 | 4 | 14 |
第三行 | 9 | 8 | 18 |
(Ⅰ)求數列的通項公式;
(Ⅱ)如數列滿足,求數列的前項和.
解:(Ⅰ)當時,不合題意
當時,當且僅當,時符合題意
當時,不合題意
因此,,,所以,
所以.
(Ⅱ)
所以
所以當為偶數時,
當為奇數時,
綜上所述