第五章數列專練9—數列求和（討論奇偶）-2021屆高三數學一輪復習
展開數列專練9—數列求和（討論奇偶）
1．在等差數列中，已知公差，是與的等比中項．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設，記，求．
解：（Ⅰ）是與的等比中項，
，
在等差數列中，公差，
，即，
化為，解得．
．
（Ⅱ），
．
當時，
．
當時，
．
故．
（也可以利用“錯位相減法”
2．已知首項為的等比數列不是遞減數列，其前項和為 ，且，，成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）若實數使得對任意恒成立，求的取值范圍．
解：（1）設等比數列的公比為，
由，，成等差數列，可得：
，
即，
即有，即為，
解得，
由等比數列不是遞減數列，可得，
即．
（2）由（1）得
當為奇數時，隨的增大而減小，所以
．
當為偶數時，隨的增大而增大，所以
實數使得對任意恒成立，則的取值范圍為，
3．已知為等差數列，為等比數列，，，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．
解：（Ⅰ）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
由，，則，可得，
，
，，
，
解得，
；
（Ⅱ）證明：法一：由（Ⅰ）可得，
，，
，
；
法二：數列為等差數列，且，
，，，
，
；
（Ⅲ），當為奇數時，，
當為偶數時，，
對任意的正整數，有，
和，①，
由①可得，②，
①②得，
，
因此．
數列的前項和．
4．設是等差數列，是等比數列，公比大于0．已知，，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設數列滿足求．
解：（Ⅰ）是等差數列，是等比數列，公比大于0．
設等差數列的公差為，等比數列的公比為，．
由題意可得：①；②
解得：，，
故，
（Ⅱ）數列滿足，
令①，
則②，
②①得：
；
故
5．已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令，求數列的前項和．
解：（Ⅰ）等差數列的公差為2，前項和為，
，
，，成等比數列，
，
，化為，解得．
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
．
當為偶數時，．
當為奇數時，．
．
6．等比數列中．，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數．且，，中的任何兩個數不在下表的同一列．
| 第一列 | 第二列 | 第三列 |
第一行 | 3 | 2 | 10 |
第二行 | 6 | 4 | 14 |
第三行 | 9 | 8 | 18 |
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）如數列滿足，求數列的前項和．
解：（Ⅰ）當時，不合題意
當時，當且僅當，時符合題意
當時，不合題意
因此，，，所以，
所以．
（Ⅱ）
所以
所以當為偶數時，
當為奇數時，
綜上所述
